的一个圆形的带子。这是一个带边界的可定向流形，我们在它上面动一个小"手术"。把带子剪开，使得它能展开成一个矩形，但把两头捏住。把其中一头转180°，把内面翻倒朝外，然后把两头无缝的粘回来。现在我们有了一个永久半翻转的带子，就是莫比乌斯带。它的边界不再是一对圆圈，而是(拓扑上)单个圆圈；曾经是"内面"的现在和"外面"并了起来，使得它只有"单"面。（在打印机的色带中有这种左扭带的应用。） 　　2、克莱因瓶 　　取两个莫比乌斯带；每个都以一个圈为边界。把每个圈拉成一个圆圈，并把带子变成交叉帽(cross-cap)。(注意这在三维空间物理上是不可能的；克莱因瓶不能放到三维空间中，就像莫比乌斯带(或者球面)不能放在平面上一样。实际建造一个克莱因瓶必需在至少四维的空间进行) 把圆圈粘合起来会产生一个新的闭合流形，没有边界的克莱因瓶。把曲面闭合起来并不能改变不可定向性，它只是移除了边界。这样克莱因瓶就成了一个不能分辨内外的闭合曲面。 　　3、实射影平面 　　从圆心为原点的球面开始。穿过原点的每条直线在两个相对的点穿透球面。虽然我们不能物理上这么做，我们在数学上可以把相对点合并为同一点。这样产生的闭合曲面是实射影平面，又一个不可定向曲面。它有一些等价 的表述和构造，但是这个方法揭示了它的名字:所有给定的穿过原点的直线射影到该"平面"的一个"点"。 　　八、豪斯朵夫假设 　　1、两个原点的线 　　我们在这里给出一个空间的例子，它满足拓扑流形所有的条件，除了它不是豪斯朵夫空间(Hausdorff space)。取两个R的拷贝，把它们写作 　　R× and R× 　　并定义如下等价关系 　　(x,0)～(x,1) if x≠1 　　从这个等价关系得到的商空间L是一个象实直线那样的空间，除了有两个点“占据”了原点。特别的是，它们不能被不交的开集所分离，所以L不是豪斯朵夫的。它是一个拓扑流形，但不是豪斯朵夫拓扑流形。 　　经常，拓扑流形被定义为必须是豪斯朵夫的，在这个定义下，上面的例子不是流形。 　　九、流形的其他类型和推广 　　要在流形上研究几何，通常必须用附加的结构来装饰这些空间，例如上面的微分流形所加入的微分结构。根据所需要的不同的几何，有许多其它的可能性: 　　·复流形: 复流形是建模在Cn上的流形，在坐标图的重叠处以全纯函数为变换函数。这些流形是复几何研究的基本对象。一个一维复流形称为黎曼曲面。 　　·巴拿赫和Fréchet流形:要允许无穷维，可以考虑巴拿赫流形，它局部同胚于巴拿赫空间。类似的，Fréchet流形局部同胚于Fréchet space。 　　·轨形(Orbifolds):一个轨形是流形的推广，允许某种"奇异点"在其拓扑中存在。大致来讲，它是局部看起来像一些简单空间(例如，欧氏空间)通过各种有限群的群作用的商。奇点对应于群作用的不动点，而作用必须在某种意义下相容。 　　·代数簇和概形(Algebraic varieties and schemes):一个代数簇是几个仿射代数簇粘起来得到的，仿射代数簇是在代数封闭的域上多项式的零点集。类似的，概形是仿射概形粘起来得到的，而仿射概形是代数簇的一个推广。二者都和流形相关，但都使用层而非坐标图集来构造。 　　十、历史 　　第一个清楚地把曲线和曲面本身构想为空间的可能是高斯，他以他的theorema egregium（突出的定理）建立了内在的微分几何。 　　黎曼是第一个广泛的展开真正需要把流形推广到高维的工作的人。流形的名字来自黎曼原来的德语术语Mannigfaltigkeit,William Kingdon Clifford把它翻译为"manifoldness"(多层)。在他的哥廷根就职演说中，黎曼表明一个属性可以取的所有值组成一个Mannigfaltigkeit。他根据值的变化连续与否对stetige Mannigfaltigkeit和离散 [sic] Mannigfaltigkeit(连续流形 和不连续流形)作了区分。作为stetige Mannigfaltikeiten的例子，他提到了物体颜色和在空间中的位置，以及一个空间形体的可能形状。他把一个n fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit (n次扩展的或n-维流形)构造为一个连续的(n-1) fach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten堆。黎曼直觉上的Mannigfaltigkeit概念发展为今天形式化的流形。 黎曼流形和黎曼曲面以他的名字命名。 　　交换簇的概念在黎曼的时代已经被隐含的作为复流形使用。拉格朗日力学和哈密尔顿力学,从几何方面考虑，本质上也是流形理论。 　　庞加莱研究了三维流形，并提出一个问题，就是现在所谓的庞加莱猜想:所有闭简单连通的三维流形同胚于3维球吗？这个问题已经完全解决，其中最重要的工作是由俄罗斯数学怪才Grigori Perelman做出的。中国数学家朱熹平和曹怀东参与了最后的封顶证明。 　　Hermann Weyl在1912年给出了微分流形的一个内在的定义。该课题的基础性方面在1930年代被Hassler Whitney等人运用从19世纪下半叶就开始发展的精确的直觉理清，并通过微分几何和李群理论得到了发展。