流形（Manifold），是局部具有欧氏空间性质的空间。 而实际上欧氏空间就是流形最简单的实例。像地球表面这样的球面是一个稍为复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。 　　流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的最自然的舞台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。他们也用于位形空间(configuration space)。环面(torus)就是双摆的位形空间。 　　如果把几何形体的拓扑结构看作是完全柔软的，因为所有变形(同胚)会保持拓扑结构不变，而把解析簇看作是硬的，因为整体的结构都是固定的(譬如一个1维多项式，如果你知道(0,1)区间的取值，则整个实属范围的值都是固定的,局部的扰动会导致全局的变化)，那么我们可以把光滑流形看作是介于两者之间的形体，其无穷小的结构是硬的，而整体结构是软的。这也许是中文译名流形的原因(整体的形态可以流动),该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理上的模型。 　　一、简介 　　流形可以视为近看起来象欧氏空间或其他相对简单的空间的物体。例如：人们曾经以为地球是平坦的，因为我们相对于地球很小，这是一个可以理解的假象。所以，一个理想的数学上的球在足够小的区域也象一个平面，这使它成为一个流形。但是球和平面有很不相同的整体结构:如果你在球面上沿一个固定方向走，你最终回到起点，而在一个平面上，你可以一直走下去。 　　一个曲面是二维的。但是，流形可以有任意维度。其他的例子有，一根线的圈(一维的)以及三维空间中的所有旋转(三维的)。旋转所组成的空间的例子表明流形可以是一个抽象空间。流形的技术使得我们能够独立的考虑这些对象，从某种意义上来讲，我们可以有一个不依赖于任何其他空间的球。 　　局部的简单性是一个很强的要求。例如，我们不能在球上吊一个线并把这个整体叫做一个流形；包含把线粘在球上的那一点的区域都不是简单的 — 既不是线也不是面 — 无论这个区域有多小. 　　我们用收集在地图集中的平的地图在地球上航行。类似的，我们可以用在数学图集中的数学地图(称为坐标图)来描述一个流形.通常不可能用一张图来描述整个流形，这是因为流形和建造它的模型所用的简单空间在全局结构上的差异。当使用多张图来覆盖流形的时候，我们必须注意它们重叠的区域，因为这些重叠包含了整体结构的信息。 　　有很多不同种类的流形。最简单的是拓扑流形，它们局部看来像欧氏空间。其他的变种包含了它们在使用中所需要的额外的结构。例如，一个微分流形不仅支持拓扑，而且要支持微积分。黎曼流形的思想导致了广义相对论的数学基础，使得人们能够用曲率来描述时空。 　　二、引例: 圆圈 　　圆是除欧氏空间外的拓扑流形的最简单的例子。让我们考虑,例如一个半径为1，圆心在原点的圆。若x 和y是圆上的点的坐标，则我们有x² + y² = 1. 　　局部看来，圆像一条线，而线是一维的。换句话说，我们只要一个坐标就可以在局部描述一个圆。例如，圆的上半部，y-坐标在那里是正的(右图中黄色的部分)。那个部分任何一点都可以用x-坐标确定。所以，存在双射 Xtop，它通过简单的投影到第一个坐标(x)将圆的黄色部分映射到开区间(−1, 1)： 　　Ⅹtop(x,y)＝x 　　这样的一个函数称为图(chart)。类似的，下半部（红），左半部（蓝），右半部（绿）也有图。合起来,这些部分覆盖了整个圆，我们称这四个图组成一个该圆的图集(atlas)。 　　注意上部和右部的图的重叠部分。它们的交集位于圆上x和y坐标都是正的四分之一弧上。两个图χtop 和χright 将这部分双射到区间(0, 1)。这样我们有个函数T 从(0, 1)到它自己，首先取黄色图的逆到达圆上再通过绿图回到该区间: 　　Τ(a)＝Ⅹright(Ⅹtop－1(a))＝Ⅹright (a,√1－a²)＝√1－a² 　　这样的函数称为变换映射(坐标变换)。 　　上，下，左，右的坐标图表明园圈是一个流形，但它们不是唯一可能的图集。坐标图不必是几何射影，而图的数量也可以有某种选择。考虑坐标图 　　Ⅹminus(x,y)＝s＝y／1＋x 和 Ⅹplus(x,y)＝t＝y／1－x 　　这里s是穿过坐标为(x,y)的可变点和固定的中心点(−1,0)的线的斜率; t是镜像对称，其中心点为(+1,0)。从s到(x,y)的逆映射为 　　x＝1－s²／1＋s² ，y＝2s／1＋s² 　　我们很容易确认x²+y² = 1 对于所有斜率值s成立。这两个图提供了圆圈的又一个图集，其变换函数为 　　t＝1／s 　　注意每个图都缺了一点，对于s是(−1,0)，对于t是(+1,0)，所以每个图不能独自覆盖整个圆圈。利用拓扑学的工具，我们可以证明没有单个的图可以覆盖整个圆圈；在这个简单的例子里，我们已经需要用到流形可以拥有多个坐标图的灵活性。 　　流形不必连通(整个只有一片);这样，一对分离的圆圈可以是一个拓扑流形。它们不必是闭的；所以不带两个端点的线段也是流形。它们也不必有限;这样抛物线也是一个拓扑流形。把这些自由选择加起来，两个另外的拓扑流形的例子有双曲线和三次曲线y² - x³ + x = 0上的点的轨迹。 　　但是，我们排除了向两个相切的圆(它们共享一点并形成8字形)的例子；在切点我们无法创建一个满意的到一维欧氏空间的坐标图。(我们可以在代数几何中用另一种观点来看，在那里我们考虑四次曲线 ((x − 1)² + y² − 1)((x + 1)² + y² − 1) = 0上的复数点，其实数点构成一对在原点相切的一对圆。 　　从微积分的观点来看，圆的变换函数T只是开区间之间的函数，所以我们知道它意味着T是可微的。事实上，T在(0, 1)可微而且对于其他变换函数也是一样。所以，这个图集把圆圈变成可微流形。 　　三、坐标图，图集和变换映射 　　1、坐标图(chart) 　　一个流形的一个坐标映射,坐标图, 或简称图是一个在流形的一个子集和一个简单空间之间的双射，使得该映射及其逆都保持所要的结构。对于拓扑流形，该简单空间是某个欧氏空间Rn而我们感兴趣的是其拓扑结构。这个结构被同胚保持，也就是可逆的在两个方向都连续的映射。 　　图对于计算极其重要，因为它使得计算可以在简单空间进行，再把结果传回流形。 　　例如极坐标，是一个R2除了负x轴和原点之外的图。上节提到的映射χtop是圆圈的一个图。 　　2、图集 　　多数流形的表述需要多于一个的图(只有最简单的流形只用一个图)。覆盖流形的一个特定的图的集合称为一个图集。图集不是唯一的，因为所有流形可以被不同的图的组合用很多方式覆盖。 　　包含所有和给定图集相一致的图的图集称为极大图集。不像普通的图集，极大图集是唯一的。虽然可能在定义中有用，这个对象非常抽象，通常不直接使用(例如，在计算中)。 　　3、变换映射 　　图集中的图通常会互相重叠，而流形中的一个点可能会被好几个图所表示。如果两个图重叠，它们的部分会表示流形的同一个区域。这些部分之间的关联代表流形上同一点的坐标点的映射，譬如上面圆圈例子中的映射T，称为坐标变换,变换函数,或者转换函数,转换映射。 　　4、附加的结构 　　图集也可用于定义流形上的附加结构。结构首先在每个图上分别定义。如果所有变换映射和这个结构相容，该结构就可以转到流形上。 　　这是微分流形的标准定义方式。如果图集的变换映射对于一个拓扑流形