保持Rn 自然的微分结构(也就是说，如果它们是微分同胚)，该微分结构就传到了流形上并把它变成微分流形。 　　通常，流形的结构依赖于图集，但有时不同的图集给出相同的结构。这样的图集称为相容的。 　　四、构造 　　一个流形可以以不同方式构造，每个方式强调了流形的一个方面，因而导致了不同的观点。 　　1、图集 　　可能最简单的构造一个流形的方法是在上面的例子中的圆圈的构造方法。首先，确认R2的一个子集，然后覆盖这个自己的图册被构造出来。流形的概念历史上就是从这样的构造发展出来的。这里有另一个例子，把这个方法应用在球面的构造上: 　　①带图册的球面 　　球面的表面可以几乎和圆圈一样的方法来处理。我们把球面视作R3的子集： 　　S＝{（x,y,z）∈R³│x²＋y²＋z²＝1} 　　球面是二维的，所以每个坐标图将映射球面的一部分到一个R2的开子集。例如考虑北半球，它是带正z坐标的部分。(在右图中它着红色)定义如下的函数χ 　　χ(x,y,z) = (x,y) 　　把北半球映射到开单位圆盘，通过把它投影到(x, y)平面。类似的坐标图对南半球也存在。和投影到(x, z)平面的两个坐标图以及投影到(y, z)平面的两个坐标图一起，我们得到了一个覆盖整个球面的含6个坐标图的图册。 　　这可以很容易地扩展到高维的球面。 　　2、贴补 　　流形可以通过把碎片以一种相容的方式粘合来构造，使得碎片成为互相覆盖的坐标图。这种构造对于任何流形都是可行的，所以经常作为流形的表述，特别是微分和黎曼流形。它集中于图册的构造，把流形作为坐标图所自然的提供的贴片，因为不涉及外部的空间，这导致了流形的内在的观点。 　　这里，流形通过给定图册来构造，图册通过定义转换映射来得到。流形的一个点因而是指通过变换映射映到同一个点的坐标点的等价类。坐标图把等价类映射到一个贴片上的点。通常会对变换映射有很强的一致性要求。对于拓扑流形，它们被要求为同胚；如果它们也是微分同胚，最后得到的流形就是微分流形。 　　这可以通过变换映射圆圈例子的第二部分中的t = 1／s来解释。从直线的两个拷贝开始。第一个拷贝用坐标s，第二个拷贝用t。现在，通过把第二个拷贝上的点t和第一个拷贝上的点1／s作为同一个点来粘合起来(点t = 0不和任何第一个拷贝上的点认同)。这就给出了一个圆圈。 　　①内在和外在的观点 　　第一种构造和这种构造非常相似，但是他们代表了相当不同的观点。在第一种构造中，流形被视为嵌入到某个欧氏空间中。这是外在的观点。当一个流形用这种方式来看的时候，它很容易通过直觉从欧氏空间得倒附加的结构。例如，在欧氏空间，很明显某个点的一个向量是否和穿过该点的曲面 相切或者垂直。 　　贴补构造不用任何嵌入，只是简单把流形看作拓扑空间本身。这个抽象的观点称为内在的观点。这使得什么是切向量更难以想象。但是它表达了流形的本质，在计算上来讲，这使我们避免了使用更高的维度，例如我们只要二维而不是三维就可以作球面上的计算。 　　②作为贴补的n维球面 　　n维球面Sn可以通过粘合Rn的两个拷贝来构造。他们之间的变换函数定义为 　　Rn\→Rn\∶x→x／‖x‖² 　　这个函数是它自身的逆，因而可以在两个方向使用。因为变换映射是一个光滑函数，这个图册定义了一个光滑流形。 　　如果我们取n = 1, 我们就得倒了上面圆圈的例子。 　　3、函数的零点 　　很多流形可以定义为某个函数的零点集。这个构造自然的把流形嵌入一个欧氏空间，因而导向一个外在的观点。这很形象，但不幸的是不是每个流形都可以这样表示。 　　如果一个可微函数的雅戈比矩阵在函数为0的每一点是满秩的，则根据隐函数定理，每个这样的点周围存在一个为0的领域微分同胚于一个欧氏空间。因此零点集是一个流形。 　　①作为一个函数零点的n维球面 　　n维球面Sn经常定义为 　　Sn＝{x∈Rn+1∶‖x‖＝1} 　　这等价为如下函数的零点 　　x→‖x‖－1 　　这个函数的雅戈比矩阵是 　　[x1 … xn+1] 　　它的秩对于除了原点的所有点为1(对于1×n矩阵就是满秩的)。这证明n维球面是一个微分流形。 　　4、认同一个流形上的不同点 　　可以把流形上的不同点定义为相同。这可以视为把不同的点粘合为同一个点。结果经常不是流形，但在有些情况下是流形。 　　这些情况下，认同过程是用群来完成的，这是作用在流形上的群。两个点被视为同一个如果一个能被该群的一个元素移动到另一个上面。如果M是该流形而G是该群，结果空间称为商空间，并记为M/G。可以通过认同点来构造的流形包括环面和实射影空间(分别从一个平面和一个球面开始)。 　　5、直积 　　流形的直积也是流形。但不是每个流形都是一个积。 　　积流形的维度是其因子的维度之和。其拓扑是乘积拓扑，而坐标图的直积是积流形的坐标图。这样，积流形的图册可以用其因子的图册构造。如果这些图册定义了因子上的微分结构，相应的积图册定义了积流形上的一个微分结构。因子上定义的其他结构也可以同样处理。如果一个因子有一个边界，积流形也有边界。直积可以用来构造环面和有限圆柱面，例如，分别定义它们为S1 × S1和S1 × [0, 1]。 　　6、沿边界粘合 　　两个带边界的流形可以沿着边界粘合。如果用正确的方式完成，结果也是流形。类似的，一个流形的两个边界也可以粘合起来。 　　形式化的，粘合可以定义为两个边界的一个双射。两个点被认同为一个，如果它们互相映射到对方。对于一个拓扑流形，这个双射必须是同胚，否则结果就不是拓扑流形。类似的，对于一个微分流形，它必须是微分同胚。对于其它流形，其他的结构必须被这个双射所保持。 　　有限的圆柱面可以作为一个流形构造，先从一个长条R × [0, 1]开始，然后把对边通过适当的微分同胚粘合起来。克莱因瓶可以一个带孔的球面和一个莫比乌斯带沿着各自的圆形边界粘合起来得倒。 　　五、拓扑流形 　　最容易定义的流形是拓扑流形，它局部看起来象一些“普通”的欧氏空间Rn。形式化的讲，一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧氏空间的拓扑空间。这表示每个点有一个领域，它有一个同胚(连续双射其逆也连续)将它映射到Rn。这些同胚是流形的坐标图。 　　通常附加的技术性假设被加在该拓扑空间上，以排除病态的情形。可以根据需要要求空间是豪斯朵夫的并且第二可数。这表示下面所述的有两个原点的直线不是拓扑流形，因为它不是豪斯朵夫的。 　　流形在某一点的维度就是该点映射到的欧氏空间图的维度(定义中的数字n)。连通流形中的所有点有相同的维度。有些作者要求拓扑流形的所有的图映射到同一欧氏空间。这种情况下，拓扑空间有一个拓扑不变量，也就是它的维度。其他作者允许拓扑流形的不交并有不同的维度。 　　六、微分流形 　　很容易定义拓扑流形，但是很难在它们上面工作。对于多数应用，拓扑流形的一种，微分流形比较好用。如果流形上的局部坐标图以某种形式相容，就可以在该流形上讨论方向，切空间，和可微函数。特别是，可以在微分流形上应用“微积分”。 　　七、可定向性 　　考虑一个拓扑流形，其坐标图映射到Rn。给定一个Rn的有序基，坐标图就给它所覆盖的流形的一片引入了一个方向，我们可以视为或者右手或者左手的。重叠的坐标图不要求在方向上一致，这给了流形一个重要的自由度。对于某些流形，譬如球面，我们可以选取一些坐标图使得重叠区域在"手性"上一致；这些流形称为"可定向"的。对于其它的流形，这不可能做到。后面这种可能性容易被忽视，因为任何在三维空间中(不自交的)嵌入的闭曲面都是可定向的。 　　我们考虑三个例子: (1)莫比乌斯带，它是有边界的流形，(2)克莱因瓶，它在三维空间必须自交，以及(3)实射影平面，它很自然的出现在几何学中。 　　1、莫比乌斯带 　　从一个竖着的无限圆柱面开始，这是一个无边界的流形。在高和低的地方各剪一刀，产生两个圆形边界，和它们之间