克莱因瓶
尔建立了与布里奥斯奇类似的方法之后，克莱因立刻就用二十面体群去试图完全解决这个问题。这个工作导致他在一系列论文中对椭圆模函数的研究。1884年，克莱因在他的一本关于二十面体的重要著作中，得到了一种连接代数与几何的重要关系，他发展了自守函数论。他和一位来自莱比锡的数学家罗伯特·弗里克合作出版了一套四卷本的关于自守函数和椭圆模函数的著作，这本著作影响以后20年。另一个计划是出版一套数学百科全书。他积极地参与到这个工作中，与K·穆勒一起编辑力学部分的四卷。我们还要提到克莱因发现的克莱因瓶，一种只有一个面的曲面。1885年克莱因被英国皇家学会选为国外会员并被授予科普勒奖金。 1908年克莱因被国际数学会选为在罗马召开的数学家大会主席。
克莱因瓶相关的内容：
王晓明 王蕊珂
一， 众所周知的“哥尼斯堡城‘七桥问题’”被大数学家欧拉开创了数学新分支-----图论。也就是“一笔划”。一笔划图形的必要条件是：奇节点数目是0或者2。图（1）的“七桥问题”A,B,C,D都是奇节点，数目是4，所以不能够“一笔划”。
二， 我们把节点转换成为“节面”（区域），来考虑“一笔划”。
（一），在平面中，4个或者4个以下的区域可以构成两两相连的区域，可以一笔划。图（2）。每个区域必须是单连通的，就是一个区域不能够是分成2块或者2块以上。图（3）就不是单连通的。这是著名的四色猜想。大家知道，平面上不可能有两两相同的5个区域。
（二），紧致封闭平面，在一个轮胎状的表面，7个或者7个以下的区域可以构成两两相连的区域。可以“一笔划”。把图（4）上下对折以后，再左右对折，形成一个轮胎状，7个区域两两相连（国外数学家给出）.两两相连的区域可以不经过其它区域到达任何一个区域。P。J希伍德以毕生精力研究四色定理，并且证明了5色定理，稀伍德考察了一般曲面着色问题提出一个推测：在有P>1个洞的封闭曲面上，足以为任何地图着色的最小数等于Mp=
[（7+√(48p)）/2],其中[X]表示整数部分，P=1,M1=7,即图（4).
克莱因瓶也只能7色，而不是8色。
（三），德国数学家G.林格证明了：足以为任何一张有P>1个洞的封闭曲面着色的真正最小色数Np，Np-Mp《2，以后美国数学家VT杨斯进一步证明了Np-Mp《1，而希伍德的假设对于不同球面几乎一切封闭曲面都是成立的，1974年，林格作出了完整的证明。例如，两个洞的封闭曲面应该是M2=[7+√(48×2)/2]=8,而事实上只能作6色，连7色都不能作。三个洞的封闭曲面M3=[7+√(48×2)/2]=9，只能作8色，而不是9色。
三，如果我们不限定形态，在多维空间构造无限多个两两相连的区域。
（一），把图（5）上下左右对折形成一个轮胎状如图（6），有编号1,2,3,4，共4个区域两两相连。
（二），把一根管子，一边是区域编号5和区域编号6，两两交错插在区域编号1和2；3和4上。见图（7）和图（8）。于是有6个区域亏格为2的曲面上两两相连。
（三），把一个三叉管，图（9），一面是区域编号7，一面是区域编号8，三端交错插在区域编号1和2；3和4；5和6上。。于是有8个区域两两相连。
（四），我们假定这些材料可以任意收缩和拉长。下一步显然可以用四叉管的四端交错插在8个区域。然后又用五叉管，六叉管，，，，。无限制进行下去。
（五），这些管子里面同样是两两相连的平面，管子内部就是有界的无穷空间。就是空洞----宇宙的通道，量子理论认为，可能存在无穷多个宇宙，这些宇宙通过一种虫洞连接起来。任何一个宇宙可以不通过第三者直接到达。虫洞是连接白洞和黑洞的多维隧道，在时空A点和时空B点连接一条近路（多维宇宙），宇宙中温度大体相同，说明两两相连的可能性。量子理论把数论与几何，数学中最古老的两门学科联系起来。
注意庞加莱猜想：在一个三维空间，假如每条封闭的曲线都能够收缩成为一点，这个空间一定是个圆球。
四，无穷多个区域两两相连与无穷多个素数两两互素具有相同性质，如果我们把区域编号1的区域记为第一个素数2，区域编号2的区域记为第二个素数3，照此类推。如是我们用榫卯结构把两个系统连接起来图（10）。以后我们再把两个系统展开，可以发现无限广阔的天地。
王晓明 王蕊珂
一， 众所周知的“哥尼斯堡城‘七桥问题’”被大数学家欧拉开创了数学新分支-----图论。也就是“一笔划”。一笔划图形的必要条件是：奇节点数目是0或者2。图（1）的“七桥问题”A,B,C,D都是奇节点，数目是4，所以不能够“一笔划”。
二， 我们把节点转换成为“节面”（区域），来考虑“一笔划”。
（一），在平面中，4个或者4个以下的区域可以构成两两相连的区域，可以一笔划。图（2）。每个区域必须是单连通的，就是一个区域不能够是分成2块或者2块以上。图（3）就不是单连通的。这是著名的四色猜想。大家知道，平面上不可能有两两相同的5个区域。
（二），紧致封闭平面，在一个轮胎状的表面，7个或者7个以下的区域可以构成两两相连的区域。可以“一笔划”。把图（4）上下对折以后，再左右对折，形成一个轮胎状，7个区域两两相连（国外数学家给出）.两两相连的区域可以不经过其它区域到达任何一个区域。P。J希伍德以毕生精力研究四色定理，并且证明了5色定理，稀伍德考察了一般曲面着色问题提出一个推测：在有P>1个洞的封闭曲面上，足以为任何地图着色的最小数等于Mp=
[（7+√(48p)）/2],其中[X]表示整数部分，P=1,M1=7,即图（4).
克莱因瓶也只能7色，而不是8色。
（三），德国数学家G.林格证明了：足以为任何一张有P>1个洞的封闭曲面着色的真正最小色数Np，Np-Mp《2，以后美国数学家VT杨斯进一步证明了Np-Mp《1，而希伍德的假设对于不同球面几乎一切封闭曲面都是成立的，1974年，林格作出了完整的证明。例如，两个洞的封闭曲面应该是M2=[7+√(48×2)/2]=8,而事实上只能作6色，连7色都不能作。三个洞的封闭曲面M3=[7+√(48×2)/2]=9，只能作8色，而不是9色。
三，如果我们不限定形态，在多维空间构造无限多个两两相连的区域。
（一），把图（5）上下左右对折形成一个轮胎状如图（6），有编号1,2,3,4，共4个区域两两相连。
（二），把一根管子，一边是区域编号5和区域编号6，两两交错插在区域编号1和2；3和4上。见图（7）和图（8）。于是有6个区域亏格为2的曲面上两两相连。
（三），把一个三叉管，图（9），一面是区域编号7，一面是区域编号8，三端交错插在区域编号1和2；3和4；5和6上。。于是有8个区域两两相连。
（四），我们假定这些材料可以任意收缩和拉长。下一步显然可以用四叉管的四端交错插在8个区域。然后又用五叉管，六叉管，，，，。无限制进行下去。
（五），这些管子里面同样是两两相连的平面，管子内部就是有界的无穷空间。就是空洞----宇宙的通道，量子理论认为，可能存在无穷多个宇宙，这些宇宙通过一种虫洞连接起来。任何一个宇宙可以不通过第三者直接到达。虫洞是连接白洞和黑洞的多维隧道，在时空A点和时空B点连接一条近路（多维宇宙），宇宙中温度大体相同，说明两两相连的可能性。量子理论把数论与几何，数学中最古老的两门学科联系起来。
注意庞加莱猜想：在一个三维空间，假如每条封闭的曲线都能够收缩成为一点，这个空间一定是个圆球。
四，无穷多个区域两两相连与无穷多个素数两两互素具有相同性质，如果我们把区域编号1的区域记为第一个素数2，区域编号2的区域记为第二个素数3，照此类推。如是我们用榫卯结构把两个系统连接起来图（10）。以后我们再把两个系统展开，可以发现无限广阔的天地。
