来源：第三维度
    作者：未知

    前言

    好久没有把学习的东西写出来了，最近在研究AR（增强现实）。发现ARToolKit的利用卡片的投影，来判断单摄像头来空间位置的思路很有特点，所以研究了一下。因为国内的资料很少，因此把从日文资料中学习来的内容分享给大家。

    希望对在这方面有兴趣的朋友有所启发和帮助。
 
    说明

    1,本人正在学习过计算机视觉，还没有入门，有些术语用错的请指教。

    2,原理部分涉及到线性代数的知识，本人已经忘光，虽然重新翻阅了同济大  学的线性代数教材，也只是应用其皮毛，此部分理论知识不牢。
 
    一，  ARToolkit介绍

    对拙文感兴趣的朋友，一定多少了解该技术，我就不班门弄斧了。想了解的朋友随便检索一下会有很多介绍的相关文章。

    我仅把官网备忘如下：http://www.hitl.washington.edu/artoolkit/

    二，  摄像头相对位置算法思路（arGetTransMat）

    ARToolkit的核心算法，我个人认为有2个，一个是卡片的识别（研究有心得的时候分享给大家），另外一个就是根据卡片投影的形状，来计算摄像头与卡片的相对位置。下面把该算法的实现原理介绍如下：

    1,卡片的形状

    正如大家所知道的，卡片的形状一定要是正方形（其他形状也可以，需要修改部分算法），正方型的好处是让算法相对简单。

    2,卡片的图形

    图形可以是任意的，单一定不能是中心对称的，因为中心对称的话就没有办法分辨出上下。

    3,近小远大及投影关系

    计算机视觉中，近小远大的投影关系，大家一定知道。ARTool就是巧妙的利用近小远大及投影关系来计算卡片相对摄像机远近，以及旋转（X轴／Y轴／Z轴）的相对位置。再具体点儿，

    假设事先拍摄好的一张卡片的正上方图片为A（一定要是垂直的正上方），

    在任意角度通过摄像头拍摄取得的卡片图像为B。

    A为正视图，正方型是没有任何扭曲的。B则不同，B会相对与A在空间的X／Y／Z轴上有旋转，及有前后的位移。

    如果我们能根据A与B的图像关系，分别计算出在X轴／Y轴／Z轴的旋转角度和的前后位移值，就知道了，摄像头相对于卡片的空间位置。问题就解决了。

    简单吧，理解上面的1,2,3特别是3,的话，我们就可以往下进行具体实现了。
 
    三，  用线性代数来实现

    解决上面3的问题。

    假设从摄像头上取得的卡片的坐标为Xc，Yc，Zc（摄像头坐标系），卡片的坐标为Xm，Ym，Zm。则有下面公式

    ｜Xc｜  |r1 r2  r3| |Xm|

    ｜Yc｜＝|r4  r5  r6||Ym|

    ｜Xc｜  |r7 r8  r9| |Zm|

    再假设相对与X轴的旋转角度为φ，相对与Y轴的旋转角度为θ，相对与Z轴旋转角度为ψ。

    上面的行列式求解为

           |cosφ –sinφ 0|
        X＝|sinφ  conφ  0|
           |0       0     1|

           |1     0       0 |
        Y= |0  cosθ –sinθ|
           |0  sinθ   cosθ|
 
           |cosψ  -sinψ  0|
        Z= |sinψ  cosψ   0|
           |0       0      1|
 
        R=
       |cosφcosψ-sinφcosθsinψ-cosφsinψ-sinφcosθcosψ  sinφsinθ|
       |sinφcosψ+cosφcosθsinψ -sinφsinψ+cosφcosθcosψ-cosφsinθ|
       |sinθsinψ                      sinθcosψ             cosθ     |
 
       r9 = cosθ

       r7^2+r8^2 = (sinθ)^2
 
      如果sinθ≠0 则

       cosφ = -r6/sinθ
       sinφ =  r3/sinθ
       cosψ =  r8/sinθ
       sinψ =  r7/sinθ
 
      前后的前后位移非常简单，

      |Xc|   |x| |Xm|
      |Yc| = |y| |Ym|
      |Zc|   |z| |Zm|
 
    OK，问题解决完了。各位看懂了吗？

    如果没有懂，也别灰心，刚学到这里的时候，我也不懂，直到我重新复习了线性代数。
 
    四，线性代数复习

   如果您同我一样，看到上面的公式不知所云的时候，请在网上搜索一下线性代数的教材，再回忆一下大学生活。（我看的是同济大学的线性代数教材，觉得讲的深入浅出。推荐给各位）

   矩阵和线性变换之间存在的一一对应关系。以2维空间为例。

   假设有向量OP（x,y）,OP长度为r，辐角为θ，则x＝rcosθ，y＝rsinθ。
 
     再假设OP1（x1,y1）,OP1长度为与OP相同为r，辐角为在θ基础上旋转φ，则有

      X1＝rcos（θ＋φ）＝r（cosφcosθ－sinφsinθ）

      Y1＝rsin（θ＋φ）＝r（sinφcosθ＋cosφsinθ）

      把cosθ＝x／r ，sinθ＝y／r代入

      X1＝r（cosφx／r － sinφy／r）＝xcosφ－ysinφ

      Y1＝r（sinφx／r ＋ cosφy／r）＝xsinφ＋ ycosφ

     写成行列式的形式的话

     ｜cosφ  －sinφ｜
     ｜sinφ   cosφ｜

    看到这里懂了吧，虽然是2维的例子，与3维的道理相同。