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作者简介：温羡峤（1937-），男，山西文水人，研究员，大学，主要从事导弹武器系统总体研究。
通信地址：100854北京142 信箱30分箱电话：(010) 68389378
温羡峤1，高雁翎2
(1.中国航天科工集团公司 二院二部,北京100854；2.中国航天科工集团公司 二院208 所,北京100854）

摘要：在弹道导弹攻防对抗仿真研究中，弹道导弹作为攻击方，其弹道的精确性对导弹攻防对抗仿真的最终结果有着重要的影响。地球旋转是影响弹道导弹弹道精度的重要因素，通过运用简化公式对地球旋转对弹道导弹精度的影响进行了计算。研究表明，对射程大于500 km的弹道导弹在预测弹道及落点时应考虑地球旋转的影响，否则将会带来较大的误差。
关键词：弹道导弹；地球旋转；弹道性能
中图分类号：TJ7613文献标识码：A文章编号：1009086X（2006）01001105

Influence of the earth rotation on the performance
of the ballistic missile
WEN Xianqiao1，GAO Yanling2
(1.The Second System Design Department of the Second Research Academy of CASIC, Beijing 100854, China;
2.The 208th Institute of the Second Research Academy of CASIC, Beijing 100854 , China)

Abstract:As the attack side in the area of attack and defense countermeasure simulation of ballistic missile, accuracy of ballistic missile′s trajectory significantly affects the finally result of attack and defense countermeasure. The earth rotation is one of the important factors which affect the accuracy of ballistic missile trajectory. The accuracy of ballistic missile trajectory influenced by the earth rotation is calculated and Analyzed with simplification formulary. The result shows that the earth rotation should be calculated by forecasting the trajectory when the range of ballistic missile is longer than 500 kilometers, otherwise the error will be increased.
Key words:Ballistic missile； Earth rotation； Ballistic performance

1引言
在研究弹道导弹攻防对抗中，通常把地球旋转、地球扁率、大气密度计算不准等因素对攻防对抗中弹道的影响，特别是对命中点计算中的影响忽略不计。对于小射程弹道导弹如射程在500 km之内时，这样做是可以的，但对于大射程的弹道导弹这样做就会带来较大的误差。为对此问题有一个深入的了解，我们对地球旋转对弹道主要性能影响进行分析，以供研究者参考。
2符号说明及基本假设
2.1符号说明
t：导弹飞行时间；
vk：在惯性坐标系内导弹的停火点速度；
v′k：在地球坐标系内导弹的停火点速度；
：在惯性坐标系内速度向量与地心水平面的夹角；
′ ：在地球坐标系内速度向量与地心水平面的夹角；
rk：停火点至地心的距离；
β ：射程角；
ψ ：在惯性坐标系内停火点处的射击方位角；
ψ′ ：在地球坐标系内停火点处的射击方位角；
φr ：大地纬度；
Δλ ：大地经度差；
R：地球半径，R≈6 371 110 m；
ω ：地球旋转角速度；
f：牛顿引力常数；
m：地球质量；
α ：地球扁率（椭率）；
k：停火点角标；
c：弹着点角标；
 ：真空段角标。
现代防御技术·导弹技术温羡峤，高雁翎：地球旋转对弹道性能影响分析现代防御技术2006年第34卷第1期2.2基本假设
（1） 地球自转是匀速的，且旋转角速度ω=7292 1×10-5s-1；
（2） 地球是半径为R的圆形球体，重力场是有心的牛顿力场；
（3） 地球的基本水准面是指圆形球体的表面，弹着点的位置均在球面上确定；
（4） 忽略了地球扁率的影响，并把大地纬度看作地心纬度。大地纬度与地心纬度之最大差值μ可以这样确定：μ＝2sin（2φr），α＝1〖〗2983，当φr＝45°时，μmax ≈115′；
（5） 地球旋转对主动段影响可以忽略；
（6） 在计算弹道再入段时空气阻力忽略不计。
3地球旋转对落点射程的影响
3.1坐标系选取
（1） 惯性坐标系。原点位于地球中心，x轴取在赤道平面上，y轴通过北极，z轴通过停火点对应的子午线，构成右手系。三坐标轴分别指向三个恒星（如图1所示）。显然，如认为地球不绕太阳公转，则坐标系是静止的。
图1惯性坐标系
Fig1Inertial coordinate system
（2） 地球坐标系。原点O1在发射点，O1x1切于发射点地球表面，并指向瞄准方向，O1y1轴自发射点垂直向上，O1z1轴按右手坐标系得到，即垂直于O1 x1y1平面，指向瞄准方向的右方（如图2所示）［1，2］。
图2地球坐标系
Fig2Earth coordinate system
3.2计算公式
由弹道计算知，在地球坐标系中的停火点速度v′k，当考虑到地球旋转作用时，在停火点必须增加一个向东的速度分量：wrkcos φrk，φrk为发射点纬度。
故导弹的绝对速度为vk＝v′k＋wrkcos  φrk（1）导弹在停火点相对于地球坐标系与惯性坐标系之间的关系为v′ksin ′k＝vksin k，
v′kcos ′kcos φ′＝vkcos kcos φ，
v′kcos ′ksin φ′＋ωrkcos φrk＝vkcos ksin φ经代数运算，可求得在惯性坐标系中停火点的射击方位角为ψ＝arctantan φ′＋ωrkcos φrk〖〗v′kcos ′kcos ψ′（2）在惯性坐标系中的弹道参数为k＝arctantan ′kcos ψ〖〗cos ψ′，（3）
vk＝v′ksin ′k〖〗sin k（4）如认为地球的质量都集中在地球的中心，按假设2，导弹遵循椭圆弹道运动，有关文献已给出了弹道被动段的总射程角β′c(如图3所示)和总飞行时间tc,即β′c＝β1＋β2，（5）
β1＝arccos1〖〗ε1－rkv2kcos2k〖〗k，
β2＝arccos1〖〗ε1－rk〖〗Rrkv2kcos2k〖〗k，式中：ε＝1－1〖〗k22k〖〗rk－v2k（rkvkcos k）2，
k＝fM＝398 620 km3/s2
tc＝2πkzk〖〗zk－zkv2k3/2（1－A1－A2），（6）式中：Ai＝1－ε2〖〗2π－εsin βi〖〗1－εcos βi＋
2〖〗1－ε2arctan1－ε〖〗1＋εctanβi〖〗2，
i=1,2.图3弹道总射程角
Fig3Chief range angle of trajectory
由于地球是绕南北轴旋转的，因此地球旋转并不影响弹着点的纬度。采用球面三角公式，求得弹着点的纬度：
φrc＝arcsin（cos β′csin φrk＋sin β′ccos φrkcos ψ）（7）
当发射点和弹着点位于北半球时，φrk,φrc均取正值。
在惯性系统中弹着点与停火点的经度差为Δλ＝arcctan－sin φrkctan ψ＋cos φrkctan β′c〖〗sin ψ（8）由于目标位置的运动，在tc时间内停火点至弹着点相对于地球的大地经度变化为Δλ′＝Δλ－ωtc，（9）如果导弹向东发射，那么，Δλ总是正的。
现根据停火点和实际命中点的位置，确定地球旋转作用下的射程。为此，采用惯性坐标系，并写出停火点和命中点的坐标，如图4所示。
图4停火点与命中点惯性坐标
Fig4Inertial coordinate of turn off point
and impact point
从图4得：rk＝rk（jsin φrk＋kcos φrk），
R＝R（icos φrcsin Δλ′＋jsin φrc＋kcos φrccos Δλ′），式中：i，j，k分别表示惯性坐标系中坐标轴Ox,Oy,Oz的单位矢量。
根据点积的定义有cos β″c＝rk·R〖〗rkR＝sin φrksin φrc＋
cos φrkcos φrccos Δλ′，所以，β″c＝arccos（sin φrksin φrc＋cos φrkcos φrccos Δλ′）， 则L＝Rβ″c（10）将式（10）所求与未考虑地球旋转作用的射程比较，就完全能确定弹着点对预定命中目标的射程偏差，计算结果如表1所示。
表1弹着点与预定命中目标的射程偏差
Table 1The range error between the impact point
and forecast impact point km发射方向〖〗标准值（ω＝0）〖〗计算值（ω≠0）〖〗差值ΔL西
东〖〗468.149 0〖〗464.276 2〖〗-3.873472.955 4〖〗4.806西
东〖〗1 116.206 0〖〗1 096.927 0〖〗-19.2841 134.927 0〖〗18.646东〖〗2 506.340 0〖〗2 583.524 0〖〗77.200
由表1可见，对于大射程情况下，由于地球旋转带来的射程差值将成倍增加，应当认真对待。
这里需特别强调的是：①向东或向西发射时；②相对于地球表面垂直发射时，上述讨论所采用的公式（2）、（3）、（4）是不适用的。因为，这时ψ′＝±90°或′k＝90° 。此时，若考虑地球旋转对射程影响时，要以下列公式代替式（2）、（3）、（4）。ψ′＝±90°（向东取正号），（11）
k＝arctanv′k〖〗ωrkcos φrk，（12）
vk＝v ′k±（ωrkcos φrk）2（13）然后再利用上述讨论的公式（5）～（10）计算即可得结果。
4地球旋转对射击方位角的影响
由前知，ωrkcosφrk的作用不仅改变了导弹飞行速度的大小，同时也改变了速度的方向，结果该导弹运动所在的平面必将改变。确定弹着点对射击平面的偏离，可以采用两种方法来计算，其一是采用确定实际弹着点位置的方法，其二是考虑地球自转在停火点给予导弹一个侧向速度分量并考虑到在飞行时间内靶场目标位置的变化来确定的方法。本文采用第一种方法。
前面公式（7）和（9）给出了地球旋转作用下的实际弹着点的纬度φrc和经度差Δλ′，用球面三角公式来决定实际射击方位角为ψ1＝arcctan－sin φrkctan Δλ′＋cos φrktan φrc〖〗sin Δλ′（14）同理，还可以求出来考虑地球旋转作用的射击方位角为ψ2＝arcctansin φrkctanΔλc＋cos φrktan φ′rc〖〗sin Δλc，（15）式中：φ′rc＝arcsin（cos βcsin φrk＋sin βccos φrkcos ψ′），
Δλc＝arcctan（－sin φrkctan ψ′＋cos φrkctan βc〖〗sin ψ′），βc为未考虑地球旋转的射程角；Δλc为不动球体上目标与停火点之经度差。
因此，由于地球旋转作用引起的射击方位角偏差为Δψ＝ψ1－ψ2，（16）目前位置对预定命中点的侧向偏差为Δz＝Rβctan Δψ（17）求得结果如表2所示。
表2地球旋转对射击方位角的影响
Table 2The effect of firing azimuth by the earth rotation
射程L/km〖〗计算结果（φr0＝45°，ψ0＝90°）ΔL /m〖〗Δz/m〖〗Δψ/（′）506.6〖〗4 806〖〗8 455〖〗57.38986.9〖〗16 822〖〗20 184〖〗70.302 600〖〗77 200〖〗92 243〖〗120.607 300〖〗878 560〖〗96 088〖〗449.91可见，随着射程的增大，其射程误差、侧向偏差、射击方位角偏差迅速增大，对于洲际弹道导弹影响会更大，射程偏差增至878.56 km，而侧向偏差增至96 km。
5初始条件的换算
考虑地球旋转对导弹飞行弹道影响时，导弹在停火点位置相对于地球表面的纬度φrk和射击方位角ψ′作为已知条件，然而实际上已知的只是在指定靶场位置上的特定条件，即只知道发射点的大地纬度和射击方位角。为此，需要建立在停火点相对于地球表面的纬度和射击方位角与发射点之间的关系。
由球面三角形边的余弦公式，得出停火点相对于地球表面的纬度表示式：φrk＝arcsin（cos δksin φr0＋sin δkcos φr0cos ψ0），（18）式中：φr0为发射点的大地纬度；ψ0为发射点的射击方位角；δk为主动段射程角，δk＝arcsinxk〖〗R＋yk ，式中：xk为地球坐标系的坐标
利用球面三角形的余切公式，得停火点相对于地球的射击方位角为ψ′＝π－arctansin δktan φ0〖〗sin ψ0－cos δkctan ψ0（19）使用上式时，取值时必须注意反三角函数的多值性。
6地球旋转对射程影响
由于弹道式导弹大部分在真空中飞行，主动段和再入段飞行时间较短，通常主动段一般持续3～4 min，再入段持续1～2 min，而中段则持续可达20 min之多。因此，对主动段、再入段地球旋转影响较小。另外，通过分析已知地球旋转对主动段和被动段影响的效应存在补偿作用，如当我们向西射击时，主动段总是消除角的最优偏差值，使ΔL＞0，而被动段由于角的增大向西射击时，总是ΔL＜0，显然，其综合效应起相互抵消作用。
基于上述原因，近似认为地球旋转对弹道主动段和再入段射程的影响之和基本为0，因此可忽略对再入段的影响部分的补偿，加上第5条基本假设，这样地球旋转只是影响弹道真空段射程［3］。
此时公式（5）换算成椭圆轨道真空段射程角的计算：β＝2arctanνktan k〖〗1－νk＋tan2 k，（20）式中：νk＝v2krk〖〗g0R2
公式（6）换算成导弹在椭圆轨道上所走过时间的表达式：t＝2〖〗（2－νk）3〖〗2R〖〗g0（ψ＋esin ψ），（21）式中：ψ＝arccos1－νk〖〗e，
e＝1－νk（2－νk）cos2 k
求出地球旋转对椭圆轨道真空段射程的影响，通过式（20）计算得的结果见表3。
表3地球旋转对椭圆轨道真空段射程的影响
Table 3The influence of vacuum segment range
on ellipse orbit by earth rotation
T/s〖〗方向〖〗计算值/m〖〗标准值/m〖〗差值ΔL/km102
114
117〖〗西〖〗415 503.9
868 668.1
1 020 474.2〖〗420 302
853 537
1 039 510〖〗-4.798
-14.868
-19.036102
114
117〖〗东〖〗425 975.4
870 359.1
1 062 234.8〖〗420 302
853 537
1 039 510〖〗5.674
16.820
22.724
可见，其射程差值，方向无论向西还是向东，均与公式（5）计算所得结果在量值上相当。
7结束语
本文研究了地球旋转对弹道性能参数的影响，特别是大射程下，地球旋转影响更为严重，应当引起防御弹道导弹方面专家的高度重视，否则，将会对防御方带来无可挽回的后果。