由交替性，当且仅当 是的一个排列，所以有 　　这里， 。 　　向量组的行列式设是 E 的一组基，基B 的行列式就是唯一的（由定理可知）交替多线性形式 使得： 　　detB(e1,...,en) = 1 于是向量组 的行列式就是 　　其中是在基B下的展开。 这个公式有时被称作莱布尼兹公式。 　　基变更公式设B与B’是向量空间中的两组基，则将上式中的detB改为detB’就得到向量组在两组基下的行列式之间的关系：

矩阵的行列式

　　设Mn(K)为所有定义在K上的矩阵的集合。将矩阵 A 的元素为A=(aij)。将矩阵 M 的 n 行写成，aj 可以看作是上的向量。于是可以定义矩阵A的行列式为向量组的行列式，这里的向量都在的正交基上展开，因此矩阵的行列式不依赖于基的选择。 　　这样定义的矩阵 A 的行列式与向量组的行列式有同样的性质。单位矩阵的行列式为1，若矩阵的两行线性相关，则行列式为零。 　　由莱布尼兹公式，可以证明矩阵行列式的一个重要性质：一个矩阵的行列式等于它的转置矩阵的行列式。 　　也就是说矩阵的行列式既可以看作 n 个行向量的行列式，也可以看作 n 个列向量的行列式。 　　证明：矩阵 A 的转置矩阵的行列式是： 　　令j = σ(i)，由于每个排列都是双射，所以上式变成： 　　令τ = σ ，当 σ 取遍所有排列时，τ 也取遍所有排列，而且 σ 的符号差等于 τ 的符号差。所以 　　线性映射的行列式设 f 是 n 维线性空间 E 到自身的线性变换（线性自同态），f 在 E 的任意一组基下的变换矩阵的行列式都是相等的。设 B 是 E 的一组基。那么 f 的行列式就是 f 在 B 下的变换矩阵的行列式： 　　之前对正方体做变换时， x1, ..., xn 是原来的基，，因此可以混淆向量组的行列式和线性变换的行列式。 　　考虑映射df,B使得 x1, ..., xn 被映射到 　　df,B 是一个交替n线性形式，因此由前面证的定理， df,B 和 detB 只相差一个系数。 　　令 x1, ..., xn 等于 B ，则得到 　　λ = df,B(B) 所以有 　　也就是说 　　对于另外一组基B' ，运用基变更公式，可以得到 du, B(B) 等于 du, B ' (B ' ) 。于是 df,B(B) 是一个不依赖于基，只依赖于 f 的数。这正是 detf 的定义。 　　特别地，行列式为 1 的线性变换保持向量组的行列式，它们构成一般线性群 GL(E) 的一个子群 SL(E) ，称作特殊线性群。可以证明， SL(E) 是由所有的错切生成的，即所有具有如下形式的矩阵代表的线性变换： 　　也就是说，错切变换保持向量组形成的“平行多面体”的体积。同样，可以证明两个相似矩阵有相等的行列式。

应用

　　求特征值：若多项式p(x) = det(xI − A)，矩阵A的特征值就是多项式的解。 多变元微积分的代换积分法（参见雅可比矩阵） 在n个n维实向量所组成的平行多面体的体积，是这些实向量的所组成的矩阵的行列式的绝对值。以此推广，若线性变换可用矩阵A表示，S是R的可测集，则f(S)的体积是S的体积的倍。 朗斯基行列式

行列式的基本性质

概述

　　在行列式中，一行（列）元素全为0，则此行列式的值为0。 在行列式中，某一行（列）有公因子k，则可以提出k。 在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式。 行列式中的两行（列）互换，改变行列式正负符号。 在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为0。 将一行（列）的k倍加进另一行（列）里，行列式的值不变。 注意：一行（列）的k倍加上另一行（列），行列式的值改变。 将行列式的行列互换，行列式的值不变。其中，行列互换相当于转置，记作D = D。 例如

其它性质

　　若A是可逆矩阵， 设A‘ 为A的转置矩阵， （参见共轭） 若矩阵相似，其行列式相同。 行列式是所有特征值之积。这可由矩阵必和其Jordan标准形相似推导出。

行列式的展开

　　余因式(英译：cofactor) 　　又称“余子式”、“余因子”。参见主条目 余因式 对一个 n 阶的行列式M，去掉M的第i行第j列后形成的 n-1 阶的行列式叫做M关于元素mij的子试。记作Mij。 　　余因式为 Cij=（-1）^(ij)*Mij

代数余子式

　　M关于元素mij的代数余子式记作Cij。。

行列式关于行和列的展开

　　一个 n 阶的行列式M可以写成一行(或一列)的元素与对应的代数余子式的乘积之和，叫作行列式按一行(或一列)的展开。 　　这个公式又称作拉普拉斯公式，把 n 阶的行列式计算变为了 n 个 n-1 阶行列式的计算。

行列式函数

　　由拉普拉斯公式可以看出，矩阵A的行列式是关于其系数的多项式。因此行列式函数具有良好的光滑性质。 　　单变量的行列式函数设为的函数，则也是的。其对t的导数为 　　矩阵的行列式函数函数是连续的。由此，n阶一般线性群是一个开集，而特殊线性群则是一个闭集。 　　函数也是可微的，甚至是光滑的（）。其在A处的展开为 　　也就是说，在装备正则范数的矩阵空间Mn()中，伴随矩阵是行列式函数的梯度 　　特别当A为单位矩阵时， 　　可逆矩阵的可微性说明一般线性群GLn()是一个李群。

应用

　　行列式与线性方程组 　　行列式的一个主要应用是解线性方程组。当线性方程组的方程个数与未知数个数相等时，方程组不一定总是有唯一解。对一个有 n 个方程和 n 个未知数的线性方程组，我们研究未知数系数所对应的行列式。这个线性方程组有唯一解当且仅当它对应的行列式不为零。这也是行列式概念出现的根源。 　　当线性方程组对应的行列式不为零时，由克莱姆法则，可以直接以行列式的形式写出方程组的解。但用克莱姆法则求解计算量巨大，因此并没有实际应用价值，一般用于理论上的推导。

高阶行列式的计算 vb源码

本程序包括三个模块和一个