空间的特殊对射对应。 　　直纹二次曲面也可以通过射影产生法产生。若两个射影相关的面束的轴是相错（即不共面）直线，则它们对应平面的交线构成一个直纹二次曲面的一族母线。 　　射影几何的子几何　射影群中有许多重要子群，对应于每一个这样的子群有一种几何，叫做射影几何的子几何。 　　为了简单明确起见，下面所说的射影群就是直射群，所说的射影变换是指直射变换，而且主要分析平面上的情况。 　　在扩大仿射平面上，令无穷远线□0=0不变的射影变换是仿射变换，用非齐次坐标表示，仿射变换的方程可以写成 　　□ (8)一切仿射变换所构成的仿射群，是射影群的一个子群。仿射变换保持平行性。 　　在扩大仿射平面的无穷远线□0□=0上，取两个共轭虚点□1(0,1,i),□2(0,1,-i),式中i2=-1。令点偶□1,I2（即□,□0＝0）不变的仿射变换叫做相似变换；它们的方程可以写成 (8)的形状，但其中(□□)是正交方阵乘以一个常数:□一切相似变换构成相似群（也叫欧氏群或度量群）,它是仿射群的子群,也是射影群的子群。有了□1,□2两点后，就可以通过射影方法在平面上引进距离和角的概念（见绝对形），相似变换把每个图形变成一个和它相似的图形，即一切长度按比例变化而角不变。这时扩大平面就可以叫做扩大欧氏平面,它上面的一切圆都经过□1□,□2。这两点就叫做无穷远圆点。 　　在相似变换中，系数□□□构成正交方阵 (即□□＝±1)的，叫做全等变换（或运动）；式中det(□□)＝1的叫做正常运动，det(□□)=-1的叫做反常运动。后者是一个正常运动和一个对直线反射之积。全等变换把每个图形变成一个和原图全等的图形。全等变换群（或运动群）是射影群、仿射群和相似群的子群。 　　已给一个空间□ 以及作用于它上面的变换所构成的一个群□,就可以判断,在□里,哪些图形性质经过□中的变换不变,研究这些性质的几何就叫做属于□的几何。若□1是□的子群，属于□1的几何就叫做属于□的几何的子几何。射影几何和仿射几何依次属于射影群和仿射群，而欧氏几何则可以认为属于相似群,但又部分地属于全等群;因为它既研究相似图形,又研究全等图形。欧氏几何是仿射几何的子几何，它和仿射几何又都是射影几何的子几何；由于它研究图形的度量性质(长度、角度、面积、……)，它也叫做度量几何。 　　群越大，不变性质越少而越带普遍性；群越小，不变性质越多而越丰富具体。这样，就可以通过不同的群之间的关系来理解不同的几何之间的关系。 　　空间□的图形还可以通过变换群□分类：把一切可以经过□的变换互相转化的图形归入同一个等价类。例如，一切满秩实迹（即有实点的）二次曲线都互相射影等价，即属于同一个射影类，它们却分为三个仿射类：和无穷远线不相交（于实点）的是椭圆，相切的是抛物线，相交于两（个实）点的是双曲线。每一个仿射类里的二次曲线又可以分为无数度量类；例如同是椭圆，两个半轴长比值不同的就不相似，半轴长不分别相等的就不全等。 　　两种非欧几何，即椭圆几何和双曲几何都是射影几何的子几何。在射影平面上，把虚迹二次曲线□□变为自己的一切射影变换构成射影群的一个子群，叫做椭圆（运动）群；属于它的几何就是椭圆几何，附有那个不变二次曲线的射影平面叫做椭圆平面。另一方面，把实迹二次曲线□变为自己，并把它的内部（即□的点的集合）变为内部的射影变换也构成射影群的一个子群，叫做双曲（运动）群；属于它的几何就是双曲几何；那个二次曲线内部就是双曲平面。非欧平面上的长度和角度概念也可以通过射影方法来引进。 　　射影几何另外一个重要子几何是闵科夫斯基几何。把点偶(0,1,1)和(0,1,-1)（即□）变为自己的一切射影变换构成洛伦兹群，属于它的几何就是闵科夫斯基几何。闵科夫斯基几何为狭义相对论提供了天然的几何说明;四维闵科夫斯基几何就是四维时空(见闵科夫斯基空间)。 　　上面所论的射影群的每个子群都有一个不变的图形（其中有些是虚迹图形），如对于仿射群的□0=0，对于相似群的□，对于椭圆群的□等。这种不变图形就叫做相应子几何的绝对形。 　　以上理论都可以推广到三维以至任意维空间。在三维空间，欧氏几何的绝对形是□□，它叫做无穷远虚圆；因为扩大欧氏平面的一切球面都经过它。空间椭圆几何，双曲几何和闵科夫斯基几何的绝对形依次是□□。 　　公理系统　上面把射影几何建立在欧氏空间的基础上，但这不是必要的。它可以建立在不涉及度量概念的公理系统上。 　　以三维射影几何为例，在那里，基本元素是点，直线和平面。射影几何公理的表达形式是多种多样的，一般可以分为三组。第一组叫做关联公理：例如，两点确定一条经过它们的直线，三个不共线点确定一个经过它们的平面，两个平面交于一条直线等等。第二组叫做次序公理：例如，已给直线上三点□,□,□,直线上必有一点□，使□,□和□,□互相隔离等等。第三组只含一个公理,即连续公理。射影直线上的连续公理实质上就是规定：去掉直线上一点以后，直线上剩下来的部分满足实数轴上的戴德金连续公理。 　　根据这些公理，便可以通过纯演绎方法建立起一个完整的实射影几何体系，包括射影坐标。所谓实射影几何，就是上面所讨论的射影几何，其中点的坐标是实数。 　　不同维的射影空间，可以在关联公理里加以区别。 　　只满足关联公理的空间可以称为一般射影空间；在那里面，仍然有射影变换，其相应的几何可以称为一般射影几何。如果把关联公理要求降低，也可以得到更一般的射影空间和射影几何。当然，在一个一般射影空间里，实射影几何的定理不完全成立。 　　也可以一开始就通过代数方法来建立射影几何。仍以实三维空间为例，设想每一个非零四实数组(□0,□1,□2,□3)为一点,成比例的四数组代表同一点；再假定线性相关的三点属于同一条直线，线性相关的四点属于同一个平面。这样就把实射影几何完全建立在实数域的基础上了。 　　用□+1数组代替四数组来表示点，就得到□维射影空间及其射影几何。 　　若令□+1数组(□0,□1,…,□□)里的□□属于某一个数域□，所得到的是一个一般射影几何。例如当□是复数域时,次序公理和连续公理都不能满足，得到的是很重要的复射影几何。上面从（实）仿射空间得到（实）欧氏空间时，就曾经利用了虚点□1,□2。 　　若□是一个有限域,所得到的一般射影空间只有有尽多个点，叫做有尽射影空间。例如，若□是特征等于3的模域，则射影平面上有13个点和13条线,每条线上有4个点,经过每点有4条线。如果要通过公理系统来建立这个空间,就要在关联公理中规定：每条线上不能有多于4个点。 　　简史　射影几何的某些内容，公元前就发现了，但到19世纪上半叶才有短暂的突破。到19世纪，它才形成独立体系，最后臻于完备。 　　基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法,也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。 　　在17世纪初期，J.开普勒最早引进了无穷远点概念(1604)。稍后，G.德扎格引进了无穷远点，除证明了上面提到的他的著名定理(1639)外，还引进了交比，调和比,以及对于二次曲线的极点和极线等概念,证明了交比经过透视不变。在他的影响下，B.帕斯卡也研究了有关射影几何的问题，并发表了他的著名定理（1640）。这些定理的特点是概括性强，只涉及关联性质而不涉及度量性质（长度、角度、面积）。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立,综合法让位于解析法,射影几何的探讨也中断了。 　　射影几何的主要奠基人是 19世纪的J.-V.彭赛列。他是画法几何的创始人G.蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生（C.－J.布里昂雄是其中之一）用综合法研究几何。由于德扎格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解,不得不重新再做。1822年,彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后，J.施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形（例如二次曲线和二次曲面）的方法，线素二次曲线概念也是他引进的(1832)。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖,K.G.C.von施陶特通过几何作图来建立直线上的点