。例如，设(□),(□)为两个点场的齐次坐标,则射影变换(□)→(□)可以用三个变数的齐次线性变换 　　□　(2)表示，式中det表示行列式；□是非零比例常数。解这个方程组，就得到逆变换(□)→(□)的方程。 　　射影变换的一个基本性质是保持关联关系，这等于说,它把线性相关的元素变成线性相关的元素。例如,点场之间的变换(2)就把点列变成点列，即直线变成直线，因而，它还把线束变成线束。由此又可以看出，只涉及关联关系的每个定理（如德扎格定理）一定代表一种射影性质，即经过射影变换不变的性质。换句话说，这种定理是一个射影定理。 　　关于射影对应，有一个基本定理。如果把一、二、三维的情况概括在一起,那就是：若在两个□维 (□=1,2,3)基本形中，分别指定一组□+2个元素,式中各组里的每□+1个元素线性无关，则两个基本形间,有惟一的射影对应，使两组元素按给定次序相对应。事实上，对于任意维射影对应，这个定理都成立。所谓“线性无关”，可以举例来说明：两个线性无关的点不重合，三个线性无关的点不共线，四个线性无关的点不共面。 　　射影变换也可以作用于扩大空间，但经过射影变换，无穷远元素可以变为非无穷远，非无穷远元素可以变为无穷远（例如平行平面可以变得不平行，不平行平面可以变得平行），因此，在未经扩大的欧氏或仿射空间里，射影变换不完全是一对一的。 　　交比 交比是一项基本的射影不变量。 　　根据关于射影对应的基本定理，一维基本形（例如，点列）间的一个射影对应是由三对对应元素惟一地确定的。由此可以推知，若在一个射影对应中，一个一维基本形中的四个元素□1,□2，□3，□4依次对应于另一个一维基本形中的 □则四元素组□1，□2，□3，□4和□必有某种共性。交比就是这样的共性。 　　设在一个一维基本形中,元素□□(□=1,2,3,4)的齐次坐标是□，而用(□□,□□)表示行列式 　　□则交比 　　□ (3)交比经过射影变换（例如投影或截影）不变。 　　若在一个一维基本形中，随意选取三个不同的固定元素□1,□2,□3，而对于任意元素□，设 　　□则□ 的位置和□ 的一切值（包括∞）一一对应。特殊地，当□=□□时,□=∞;□=□□时,□=0；□=□□时,□=1。因此, □可以作为基本形中的非齐次坐标。若再令 □=□1/□0，则(□0,□1)是基本形中的齐次坐标，称为射影坐标。特殊地, □1,□2,□3的坐标依次是(0,1),(1,0)和(1,1)。这三个元素叫做射影坐标系的基元素。 　　在欧氏空间,若□1,□2,□3,□4是四个共线点,而用□□□□表示由□□到□□的有向线段长，则 　　□　在欧氏平面，若□□,□□,□□,□□是经过同一点的四条直线，而用(□□□□)表示由□□到□□的有向角，则 　　□ 　　四个元素有24种排列法，但对于一般位置的四个元素只有 6个不同的交比值，对于某种特殊位置的四个元素,则六个交比值中至少有两个相等。例如，当交比(□□,□□,□□,□□)=-1时,这四个元素称为构成调和组。这时□□和□□,□□和□□都可以对调,元素偶□□,□□和□□,□□也可以对调，而交比不变；而且元素的其他次序所对应的交比值都是2或1/2。这表明,对于构成调和组的四个元素,变动其排列次序，只有3个不同的交比值，即－1, 2, 1/2。当然，在射影相关的基本形中，调和组对应于调和组。 　　在调和组□□,□□,□□,□□里，□□也叫做□□对于□□,□□的共轭；已给□□,□□和□□,可以用直尺作图求□□。图4求□□对于□□□□的调和共轭□□的作图法表示,已给点列中任意三点□□,□□和□□,求□□对于□□，□□的调和共轭□□的作图法。注意□,□可以是经过□□□的任意直线上的任意两点。还可以看出, 当□□趋于□□（或□□）时，□□也趋于□□（或□□）。因此，调和组中可以有三点重合。 　　直射变换与对射变换，射影群　考虑一个平面上的二维射影变换。平面既是点场的底，又是线场的底，因此，它上面的一个射影变换可以把点变成点（或线变成线），也可以把点变成线（或线变成点），前一种叫做直射变换，后一种叫做对射变换。 　　直射变换的逆变换和它们的积（即两个直射变换接连作用所形成的变换）都是直射变换。因此，平面上一切直射变换构成群，叫做平面直射群。直射变换的特征是，它把共线的点变成共线的点，因而可以说，也把直线变成直线。一个直射变换可以用关于点坐标的线性变换(2)代表。如果它把直线(□)变成(□)，则通过关联条件可得 　　□ (4)式中□□是□□在方阵(□□)中的余因子，□是比例常数。可以认为，(2)和(4)代表着同一个直射变换，它们的区别只是在于：一个用了点坐标，一个用了线坐标。 　　与此类似,对射变换把共点的直线变成共线的点,把共线的点变成共点的直线，即把线变成点，把点变成线。两个对射变换之积是一个直射变换。对射变换不构成群，但是平面上一切直射变换和对射变换在一起构成群，叫做射影群。直射群是射影群的子群。但有时射影群这个名词也用来指直射群。 　　由于平面对射变换把点变成线，把线变成点，而又保持关联关系，它就体现了平面上的对偶原理。 　　同样，空间也有直射变换和对射变换，前者把点变成点，面变成面，后者把点变成面，面变成点；它们都把直线变成直线。空间一切直射变换构成直射群，一切直射变换和对射变换构成射影群。空间对射变换体现空间对偶原理。 　　直线上的一切点变点的射影变换构成直线上的射影群。 　　其他基本形里都有各自的射影群。 　　二次曲线与二次曲面　扩大平面上的二次曲线 　　□的齐次方程是 　　□ (5)式中□□=□□□表明(□□)是对称方阵。 　　在射影平面上,方程(5)所确定的点的轨迹就叫做一条二次曲线。与此相对偶，含线坐标的齐二次方程 　　□ (6)代表一个直线的集合,也叫做二次曲线。为了区别(5)和(6),它们所代表的点集和线集依次就叫做点（素）二次曲线和线（素）二次曲线。 　　用Г表示点二次曲线（5），并假定它是满秩的, 即det(□□)≠0。在它上面的一点(□)，Г的切线方程是 　　□这些切线构成线二次曲线□，式中□□是□□在方阵(□□)里的余因子。按照对偶原理，点曲线的切线的对偶是线曲线的切点（两条“相邻”直线交点的极限位置），因而满秩线二次曲线的切点构成一个点二次曲线。 　　设□为不在满秩点二次曲线Γ上的任意点，经过□作直线□交Г于□1, □2两点（图5极点和极线）。设在□上，□点对于□1，□2的调和共轭是□,即(□1,□2;□,□)=-1。这样的两点□,□□叫做对于Г的共轭点。当□固定而令□转动时,□□的共轭□总是在一条直线□上，叫做□点对于Г的极线,而□就叫做直线□对于Г的极点。特殊地，若□为Г上的点，它的极线□就是Г在□的切线。显然，若□的极线经过□,则□的极线经过□。若□和□的齐次坐标依次为(□)和(□)，则 　　□ (7)这是一种特殊的对射对应，其特殊性在于(□□)是对称方阵，它叫做对于Γ的配极对应。配极变换的平方，即它和自己的乘积是幺变换（或叫恒等变换）。配极对应也可以体现对偶原理。 　　二次曲线可以通过射影产生法产生。若在平面上有两个射影相关的线束（即线束间建立了一宗射影对应），它们有不同的中心，而且它们的公共直线不对应于自己，则两线束中对应直线交点的轨迹是一条满秩点二次曲线。用对偶方法可以产生线二次曲线。 　　射影几何中，关于二次曲线一个最早的著名定理是帕斯卡定理（图6帕斯卡定理示意图）:满秩二次曲线的一个内接六边形□□□□□□的三对对边□□□和□□,□□和□□,□□和□□交于一条直线上。倒转来，若一个六边形的三对对边交点在一条直线上，则六边形顶点在一个二次曲线上，但这个二次曲线可能退化成直线偶。帕斯卡定理在平面上的对偶叫做布里昂雄定理。 　　帕斯卡定理的一个特款是帕普斯定理：若□,□,□ 和□□,□□,□□分别是两条直线上的三点，它们都不重合，则□□□和□□□，□□□和□□□，□□□和□□□交于共线的三点。 　　在三维射影空间,设(□),(□)依次为齐次点坐标和面坐标,则含□□的一个齐二次方程□代表一个点（素）二次曲面，而含□□的一个齐二次方程代表一个面（素）二次曲面。满秩点二次曲面的切面构成一个满秩面二次曲面，而满秩面二次曲面的切点构成一个满秩点二次曲面。 　　关于满秩二次曲面也有配极对应，它使极点和极面互相对应，是