许以超
空间中的齐性西格尔域）：其中Cj（z），Qj（u）都是方阵，且有明确的定义。然后，他证明了任意齐性西格尔域线性等价于某个正规西格尔域，并且正规西格尔域间全纯等价当且仅当定义它们的正规矩阵组在一种特殊的关系下互相等价。这样，齐性有界域的分类问题便化为正规矩阵组的等价分类。沿着这条线路，在假设正规矩阵组中所有矩阵都是方阵的情形，他给出了完全分类。这些结果出乎意料地包含了嘉当关于埃尔米特对称空间的结果，即找到了那两个例外情形的域的具体表达式。许以超的上述结果是在1965年前后做出的，但由于“四清”运动和“文化大革命”运动，直到1976年才发表。
所谓齐性空间，就是一个连通李群G模一个特殊的闭子群H，其中G是G/H上的自同构群。所以齐性有界域的全纯自同构群是很重要的。因此，很多数学家希望弄清楚全纯自同构群，为此做了很多工作。这个问题在1976年由德国数学家多尔夫马斯特（Dorfmaster）和许以超同时独立地解决。前者由于借助了一般齐性西格尔域的某种刻画，所以对全纯自同构群的具体性质，难以进一步研究。
利用正规西格尔域的具体表达形式，许以超算出了它们的伯格曼（Bergman）核函数，伯格曼度量，柯西—赛格（CauchySzeg）核和形式泊松（Poisson）核，证明了厄基—施坦（VegiStein）猜想：形式泊松核为泊松核的充分且必要条件是齐性西格尔域对称。此外，他还讨论了齐性西格尔域的二阶不变微分算子，证明了齐性西格尔域的伯格曼映射为全纯同构，弄清了用温贝格关于齐性西格尔域的实现为什么没有办法讨论齐性有界域上的函数论。
许以超关于齐性西格尔域的实现，大大推进了齐性有界域的函数论性质和几何性质的研究，将这些问题的研究变为可计算的。他证明了非对称齐性西格尔域的形式泊松核不是泊松核，接着提出了如何在非对称齐性西格尔域上建立调和函数论，即研究拉普拉斯—贝尔特拉米（Laplace-Beltrami）方程的解空间的性质这样一个重要问题。另一方面，他给出了全纯自同构群的李代数的一组标准基及其乘法表，从而提供了研究这类李代数的良好条件。许以超的工作，国际上公认是西格尔域方面自1975年以来所取得的最重要的工作。法国著名数学家J.L.科斯居尔（Koszul）有这样的评价：“在我看来，许以超关于凸锥和西格尔域的工作是自1975年以来对该理论有最重要和最具奠基性贡献的工作，这应当能够促成在许多方向的新的发展。虽然在正规锥概念引进后，更好地了解它的代数结构是必要的，然而正如许以超的杰出工作所表明的，一旦这一方法被掌握，它就是一个非常有效的工具。”许以超的这项工作在1987年获得中国科学院自然科学二等奖。
温贝格和季特金猜想，齐性凯勒（Khler）流形是全纯纤维丛，底空间是齐性有界域，丛空间是紧齐性凯勒流形。多尔夫马斯特证明了这个猜想。在日本学者村上信吾工作的基础上，许以超给出了在约化李群可递作用下的凯勒流形的完全分类。
他还在二维复欧几里得空间中加上图伦（Thullen）条件的有界域上考虑了分类。图伦和H.嘉当（Cartan）对赖因哈特（Reinhardt）域和圆形域及部分半圆型域给出了完全分类。许以超和他的学生则对半圆型域及正（m，p）圆型域给出了完全分类，这提供了一批有意义的标准域。而构造标准域的方法，对研究其他图伦条件下的标准域以及推广到多个复变数情形，都是很有用的。
从1958年到1976年，许以超分别承担了多种不同的数学应用任务。1958年，数学所解散代数、数论和拓扑组，成立运筹组。他参加了推广线性规划的小组，在交通运输和全国粮食调配方面，参与编制方案。在此基础上，许以超与王元等人编写了《线性规划的理论及其应用》一书，该书于1959年在高等教育出版社出版，是国内第一本线性规划方面的书。1969年，他完成了特征2的域上本原多项式的计算任务；1976年，又完成了小范围人口预测的计算任务。这些工作都得到了使用单位的好评。
从1986年起，许以超积极地参与了中学生数学竞赛活动。他参加了第一次中国数学奥林匹克集训队的培训，选拔出的6名队员，在国际数学竞赛中获得了很好的成绩。他从1992年开始参加中国数学奥林匹克命题组，参与选拔集训队员和出国代表队员，为中国队多年在数学国际奥林匹克竞赛中取得总分第一及获得大量金牌，作出了自己应有的贡献，为祖国争得了荣誉。1998 年他被中国数学会奥林匹克委员会聘为数学奥林匹克国家级教练。
虽然科研单位没有教学任务，但是许以超很关心大学数学教育；先后为中国科学技术大学1961级和1963级，南开大学1986级，清华大学1989级，河南大学2000级本科生讲授了高等代数。其中为中国科学技术大学数学系61和63两个年级的授课时间长达4年，讲授内容包括平面和空间解析几何、高等代数、线性代数、抽象代数等。其后，他将讲义整理成《代数学引论》一书，在华罗庚教授的推荐下，于1966年在上海科学技术出版社出版。这本书，在国内教材中第一次充分利用矩阵工具，将线性空间的问题化为代数问题。书中收录了大量难题，成为“文化大革命”后，考研究生的必备参考书，并且影响了“文化大革命”后出版的很多高等代数教科书。1992年，为适应新的需要，他将《代数学引论》中的部分章节重新整理，改写成《线性代数和矩阵论》一书，在高等教育出版社出版，该书在1996 年获得国家优秀教材一等奖。可以说，《代数学引论》一书作为线性代数基础教科书及教学参考书，足足影响了几代人。
许以超是国内少数真正熟悉李群的数学家。在1983年和严志达教授合作在高等教育出版社出版了《李群及其李代数》一书，该书于1990年获得国家优秀教材二等奖。2000年，他在科学出版社出版了《李群及Hermite对称空间》一书。他先后在北京大学、中国科学技术大学、中国科学院研究生院、杭州大学、郑州大学、浙江大学、南开大学、河南大学为研究生讲授了李群课程，对李群学科在国内的普及作出了不可磨灭的贡献。许以超讲课思路清晰，说理透彻，富有启发性，教学效果十分突出，深受各地学生和教师们的欢迎。在讲课中，他特别注意说清楚证明的思路是什么，为什么要这样去想。他善于剖析课程内容，注重基础训练，注重所讲课程的实质，注重数学技巧的运用，因而能够为学生以后做研究工作打下扎实基础。
1 陆启铿，许以超.可递域的一个注记.数学学报，1961，11：11-23
2 许以超，王德霖.有界正（m，p）圆型域上全纯自同构群.数学学报，1963，13：419-432
3 许以超.齐性有界域的自同构群.数学学报，1976，19：169-191
4 许以超.齐性有界域的同构.数学学报，1977，20：248-266
5 许以超.方型锥上第一类Siegel域.数学学报，1978，21：1-17
6 许以超. Classification of square type domains. Scientia Sinica, 1979,22: 375—392
7 许以超. On the Bergman kernel function of homogeneous bounded domains. Scientia Sinica, 1979, Special Issue, Ⅱ : 80—90
8 许以超. A note
所谓齐性空间，就是一个连通李群G模一个特殊的闭子群H，其中G是G/H上的自同构群。所以齐性有界域的全纯自同构群是很重要的。因此，很多数学家希望弄清楚全纯自同构群，为此做了很多工作。这个问题在1976年由德国数学家多尔夫马斯特（Dorfmaster）和许以超同时独立地解决。前者由于借助了一般齐性西格尔域的某种刻画，所以对全纯自同构群的具体性质，难以进一步研究。
利用正规西格尔域的具体表达形式，许以超算出了它们的伯格曼（Bergman）核函数，伯格曼度量，柯西—赛格（CauchySzeg）核和形式泊松（Poisson）核，证明了厄基—施坦（VegiStein）猜想：形式泊松核为泊松核的充分且必要条件是齐性西格尔域对称。此外，他还讨论了齐性西格尔域的二阶不变微分算子，证明了齐性西格尔域的伯格曼映射为全纯同构，弄清了用温贝格关于齐性西格尔域的实现为什么没有办法讨论齐性有界域上的函数论。
许以超关于齐性西格尔域的实现，大大推进了齐性有界域的函数论性质和几何性质的研究，将这些问题的研究变为可计算的。他证明了非对称齐性西格尔域的形式泊松核不是泊松核，接着提出了如何在非对称齐性西格尔域上建立调和函数论，即研究拉普拉斯—贝尔特拉米（Laplace-Beltrami）方程的解空间的性质这样一个重要问题。另一方面，他给出了全纯自同构群的李代数的一组标准基及其乘法表，从而提供了研究这类李代数的良好条件。许以超的工作，国际上公认是西格尔域方面自1975年以来所取得的最重要的工作。法国著名数学家J.L.科斯居尔（Koszul）有这样的评价：“在我看来，许以超关于凸锥和西格尔域的工作是自1975年以来对该理论有最重要和最具奠基性贡献的工作，这应当能够促成在许多方向的新的发展。虽然在正规锥概念引进后，更好地了解它的代数结构是必要的，然而正如许以超的杰出工作所表明的，一旦这一方法被掌握，它就是一个非常有效的工具。”许以超的这项工作在1987年获得中国科学院自然科学二等奖。
温贝格和季特金猜想，齐性凯勒（Khler）流形是全纯纤维丛，底空间是齐性有界域，丛空间是紧齐性凯勒流形。多尔夫马斯特证明了这个猜想。在日本学者村上信吾工作的基础上，许以超给出了在约化李群可递作用下的凯勒流形的完全分类。
他还在二维复欧几里得空间中加上图伦（Thullen）条件的有界域上考虑了分类。图伦和H.嘉当（Cartan）对赖因哈特（Reinhardt）域和圆形域及部分半圆型域给出了完全分类。许以超和他的学生则对半圆型域及正（m，p）圆型域给出了完全分类，这提供了一批有意义的标准域。而构造标准域的方法，对研究其他图伦条件下的标准域以及推广到多个复变数情形，都是很有用的。
从1958年到1976年，许以超分别承担了多种不同的数学应用任务。1958年，数学所解散代数、数论和拓扑组，成立运筹组。他参加了推广线性规划的小组，在交通运输和全国粮食调配方面，参与编制方案。在此基础上，许以超与王元等人编写了《线性规划的理论及其应用》一书，该书于1959年在高等教育出版社出版，是国内第一本线性规划方面的书。1969年，他完成了特征2的域上本原多项式的计算任务；1976年，又完成了小范围人口预测的计算任务。这些工作都得到了使用单位的好评。
从1986年起，许以超积极地参与了中学生数学竞赛活动。他参加了第一次中国数学奥林匹克集训队的培训，选拔出的6名队员，在国际数学竞赛中获得了很好的成绩。他从1992年开始参加中国数学奥林匹克命题组，参与选拔集训队员和出国代表队员，为中国队多年在数学国际奥林匹克竞赛中取得总分第一及获得大量金牌，作出了自己应有的贡献，为祖国争得了荣誉。1998 年他被中国数学会奥林匹克委员会聘为数学奥林匹克国家级教练。
虽然科研单位没有教学任务，但是许以超很关心大学数学教育；先后为中国科学技术大学1961级和1963级，南开大学1986级，清华大学1989级，河南大学2000级本科生讲授了高等代数。其中为中国科学技术大学数学系61和63两个年级的授课时间长达4年，讲授内容包括平面和空间解析几何、高等代数、线性代数、抽象代数等。其后，他将讲义整理成《代数学引论》一书，在华罗庚教授的推荐下，于1966年在上海科学技术出版社出版。这本书，在国内教材中第一次充分利用矩阵工具，将线性空间的问题化为代数问题。书中收录了大量难题，成为“文化大革命”后，考研究生的必备参考书，并且影响了“文化大革命”后出版的很多高等代数教科书。1992年，为适应新的需要，他将《代数学引论》中的部分章节重新整理，改写成《线性代数和矩阵论》一书，在高等教育出版社出版，该书在1996 年获得国家优秀教材一等奖。可以说，《代数学引论》一书作为线性代数基础教科书及教学参考书，足足影响了几代人。
许以超是国内少数真正熟悉李群的数学家。在1983年和严志达教授合作在高等教育出版社出版了《李群及其李代数》一书，该书于1990年获得国家优秀教材二等奖。2000年，他在科学出版社出版了《李群及Hermite对称空间》一书。他先后在北京大学、中国科学技术大学、中国科学院研究生院、杭州大学、郑州大学、浙江大学、南开大学、河南大学为研究生讲授了李群课程，对李群学科在国内的普及作出了不可磨灭的贡献。许以超讲课思路清晰，说理透彻，富有启发性，教学效果十分突出，深受各地学生和教师们的欢迎。在讲课中，他特别注意说清楚证明的思路是什么，为什么要这样去想。他善于剖析课程内容，注重基础训练，注重所讲课程的实质，注重数学技巧的运用，因而能够为学生以后做研究工作打下扎实基础。
许以超-主要论著
1 陆启铿，许以超.可递域的一个注记.数学学报，1961，11：11-232 许以超，王德霖.有界正（m，p）圆型域上全纯自同构群.数学学报，1963，13：419-432
3 许以超.齐性有界域的自同构群.数学学报，1976，19：169-191
4 许以超.齐性有界域的同构.数学学报，1977，20：248-266
5 许以超.方型锥上第一类Siegel域.数学学报，1978，21：1-17
6 许以超. Classification of square type domains. Scientia Sinica, 1979,22: 375—392
7 许以超. On the Bergman kernel function of homogeneous bounded domains. Scientia Sinica, 1979, Special Issue, Ⅱ : 80—90
8 许以超. A note
